数量关系 · 计算问题

一、等差数列

1. 1、定义：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。数列的第一项叫做首项，a₁表示。相邻两项的差值叫做公差，用d表示。前n项和用Sn表示

2. 2、通项公式：$a_n=a_1$+$（n-1）d$；其中$a_n$表示第n项的值，d为公差。

3. 3、性质：

   1. （1）$a_n=a_m$＋$（n-m）d$；

   2. （2）$a_n-a_m$=$（n-m）d$。

   3. （3）若m+n=p+q，则：$a_m+a_n=a_p+a_q$

   4. （4）整体平均数等于首尾两项的算术平均数：$\overline{a}=\frac{a_1+a_n}{2}$

      1. ①若项数 n 为奇数：这个整体的算术平均数恰好就是中间那一项。 例如：数列 3、5、7、9、11，平均数=（3+11）÷2=7，正是第三项。
      2. ②若项数 n 为偶数：这个整体的算术平均数恰好是中间两项的算术平均数。例如：数列 3、5、7、9，平均数=（3+9）÷2=6，正是（5+7）÷2=6。

4. 4、求和公式：

   1. （1）$S_n$=$\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$ = $n{a}_1$+$\frac{n(n-1)}{2}d$

   2. （2）$S_n:\{\begin{array}{l}\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{项}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}）\\ \frac{\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{两}\mathrm{项}\mathrm{和}}{2}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}）\\ \mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{数}\times n\end{array}$